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Primero llamamos $y=f(x)$ y luego intercambiamos $x$ y $y$:
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Matemática 51
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
4.
Hallar la función inversa $f^{-1}$. Dar su dominio y su imagen.
b) $f(x)=\ln (3-x)$
b) $f(x)=\ln (3-x)$
Respuesta
Hallemos la función inversa:
$y = \ln(3-x)$
$x = \ln(3-y)$
Despejamos $y$:
$e^x = 3-y$
$y = 3 - e^x$
• $f^{-1}(x) = 3 - e^x$
Hallemos el dominio e imagen de la función inversa:
El dominio de $f^{-1}$ es $\mathbb{R}$ (pues las funciones exponenciales no presentan restricción de su dominio) y la imagen de $f^{-1}$ corresponde al dominio de $f$, que debemos calcularlo:
Dominio de $f$:
$3-x>0$
$-x>-3$
$x<\frac{-3}{-1}$
$x<3$
$Dom f = (-\infty; 3)$, que es la imagen de la inversa (pero en valores de $y$). Resumiendo:
• $Dom f^{-1} = \mathbb{R} > 0$
• $Imf^{-1} = (-\infty; 3)$
Ojo, nunca te olvides que el dominio está conformado por valores de $x$ y la imagen por valores de $y$. Nada, te lo recuerdo nomás.
Y sí, otra opción para calcular la imagen de la inversa es evaluar el límite cuando $x$ tiende a más y menos infinito, pero me daba fiaca y creo que a veces es más fácil hacerlo así.