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Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4 - Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonómetricas

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4. Hallar la función inversa f−1f^{-1}. Dar su dominio y su imagen.
b) f(x)=ln⁡(3−x)f(x)=\ln (3-x)

Respuesta

Hallemos la función inversa:

Primero llamamos y=f(x)y=f(x) y luego intercambiamos xx y yy:
y=ln⁡(3−x)y = \ln(3-x)
x=ln⁡(3−y)x = \ln(3-y) Despejamos yy:
ex=3−ye^x = 3-y
y=3−exy = 3 - e^x • f−1(x)=3−exf^{-1}(x) = 3 - e^x


Hallemos el dominio e imagen de la función inversa:
El dominio de f−1f^{-1} es R\mathbb{R} (pues las funciones exponenciales no presentan restricción de su dominio) y la imagen de f−1f^{-1} corresponde al dominio de ff, que debemos calcularlo:

Dominio de ff:

3−x>03-x>0

−x>−3-x>-3

x<−3−1x<\frac{-3}{-1} x<3x<3

Domf=(−∞;3)Dom f = (-\infty; 3), que es la imagen de la inversa (pero en valores de yy). Resumiendo:

• Domf−1=R>0Dom f^{-1} = \mathbb{R} > 0
 
• Imf−1=(−∞;3)Imf^{-1} = (-\infty; 3)


Ojo, nunca te olvides que el dominio está conformado por valores de xx y la imagen por valores de yy. Nada, te lo recuerdo nomás.

Y sí, otra opción para calcular la imagen de la inversa es evaluar el límite cuando xx tiende a más y menos infinito, pero me daba fiaca y creo que a veces es más fácil hacerlo así.
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